Объединённая межвузовскя математическая олимпиада 2012

У нынешних школьников куда больше возможностей поступить в отличный ВУЗ: всё не ограничивается написанием вступительных экзаменов. На данный момент существует несколько десятков олимпиад, успешное выстопление на которых является входным билетом в студенческую жизнь. Сегодня мы познакомимся с заочным туром Объединённой межвузовской математической олимпиады (вариант Б). Успешное её выполнение (а задания почти тестовые) будет билетом не в высшее учебное заведение, но в очный тур, который нужно писать лучше всех и не волноваться о поступлении, ведь эта олимпиада официально признана соревнованием, которая даёт льготы при поступлении. Итак, приступим!

Олимпиада школьников “Ломоносов”. Математика.

Итак, сегодня мы познакомим вас с задачами заочного тура олимпиады “Ломоносов”, которая в 2011-2012 годах посвящена 300-летию со дня рождения основателя МГУ: М.В. Ломоносова. Этот человек был настоящим эрудитом, и как наверное каждый помнит, пешком!!! дошел до Москвы, чтобы учиться. Давайте и мы с вами немножко пошевелим мозгами и подумаем над задачками по математике 10-11 классов (в этой записи нечётные номера).

Правило Лопиталя

Рассмотрим задачу на нахождение предела функции с использованием правила Лопиталя.
Найти предел функции  

Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Геометрическая интерпретация

В прошлой статье мы рассмотрели частный случай перехода к полярным координатам в двойном интеграле. Что же происходит в общем случае при замене переменных? Попробуем провести аналогию с однократным интегралом:

_a^b∫f(x)dx = _α^β∫f(g(t))g’(t)dt,

где x = g(t), a ≤ x ≤ b и α ≤ t ≤ β
Здесь же x = g(t) непрерывная функция на интервале (а; b), а её производная – непрерывная функция на интервале (α, β)
Можно предположить, что когда мы имеем дело с функцией двух переменных, то место частной производной займет Якобиан(не равный нулю):

Якобиан

Замена переменных в двойных интегралах. Переход к полярным координатам

В однократных определённых интегралах нам часто помогала замена переменных. Хотелось бы использовать полезные свойства такого метода решения интегралов и для двойных интегралов. Однако в таком случае возникают некоторые особенности, которые мы изучим пока что на частном примере перехода к полярным координатам.

Свойства двойных интегралов

Мы ввели понятие двойного интеграла. Теперь стоит узнать, на что этот интеграл способен – то есть узнать свойства двойного интеграла. Заранее отметим, что эти свойства очень схожи со свойствами однократных интегралов.

1) Объём цилиндроида – это двойной интеграл модуля функции двух переменных. Об этом мы упоминали уже не раз.

2) Двойной интеграл – это линейный функционал, то есть:

Линейный функционал

Повторный интеграл. Связь с двойным интегралом.

В прошлый раз мы сформулировали понятие двойного интеграла. Рассмотрим некоторые важные аспекты прежде чем двигаться дальше. Итак, пусть

Двойной интеграл

Опишем части данного выражения. f(x₁; x₂) – это подынтегральная функция, f(x₁; x₂)dx₁dx₂ – это подынтегральное выражение, М – область определения подынтегральной функции. Помним, что определённый интеграл (а в данном случае двойной интеграл определённый) это интеграл Римана, число, а также численная мера площади или объёма (в случае двойного интеграла – объёма). Важное замечание заключается в том, что значение двойного интеграла равно объёму цилиндроида только в том случае, когда подынтегральная функция принимает неотрицательные значения на ограниченном множестве М.

Двойной интеграл. Схема Римана. Геометрическая интерпретация

Напомним, что теория интегрального исчисления была предложена в XVII веке независимо друг от друга двумя учёными – Ньютоном и Лейбницом. Им вышеназванная теория была необходима для дальнейшего изучения движения планет, а кроме того стоит заметить, что Ньютону в это время не было ещё и 30 лет…

Дерзайте ныне ободренны
Раченьем вашим показать,
Что может собственных Платонов
И быстрых разумом Невтонов
Российская земля рождать
Дерзаем, и с Первым сентября вас! С днём знаний! А теперь вернёмся к интегралам.

Матрицы

Все наверняка смотрели фильм матрица, и одна из ассоциаций – очень много зелёных цифр, бегущих по черному экрану бесконечным полотном. В современных технологиях, науке в матрицах содержится очень много информации, которая управляет многими элементами нашей жизни. Поэтому понимание данного раздела линейной алгебры необходимо для элементарной систематизации накопленных знаний, данных. Итак, матрица – это таблица, составленная из чисел (букв, функций), произвольного размера (для определённости n столбцов и m строк). На начальном этапе рассмотрим матрицу из чисел, причём основой для составления матрицы нам будет служить система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Действительные числа

Абстрактные понятия, конечно же, имеют много преимуществ, но всё же математика требует конкретизации. Чаще всего математика ассоциируется с числами – действительно, большинство операций и действий в математике выполняется над числами. Вспомним из школы классификацию всех чисел. Всё начиналось с натуральных чисел – как поясняют младшим школьникам, этими числами считали убитых на охоте мамонтов: один, два, три… Далее появилась наука экономика, и люди стали cчитать долги: “Он должен мне мамонтов!” Натуральный ряд чисел расширился до ряда целых чисел: 1, -1, 2, -2,…, а также 0. В некоторых теориях число 0 относят к натуральным числам. Заметим, во-первых, что в большинстве глобальных задач сути это замечание не меняет, а во-вторых, числом ноль мамонтов не сосчитать (это число обозначает отсутствие мамонтов, так сказать, считать нечего). Поэтому в дальнейшем для нас число ноль будет являться целым.